Оператор замыкания

Пусть $A$ — произвольное множество; $2^A$ — множество подмножеств (булеан) $A$. **Оператором замыкания** на $A$ называется произвольная функция $\operatorname{Cl} : 2^A \to 2^A$, удовлетворяющая трем условиям для произвольных $X, Y \subseteq A$: * $X \subseteq \operatorname{Cl}(X)$ (экстенсивность) * $X \subseteq Y \Rightarrow \operatorname{Cl}(X) \subseteq \operatorname{Cl}(Y)$ (монотонность) * $\operatorname{Cl}(\operatorname{Cl}(X)) = \operatorname{Cl}(X)$ (идемпотентность)

Подмножества с условием $\operatorname{Cl}(X) = X$ называются **замкнутыми относительно** $\operatorname{Cl}$.